更新时间：2022-09-22 09:27
哈纳克不等式(Harnack inequality)是调和函数的重要性质，是指非负调和函数在圆周上的值与其在圆心的值之比的双向不等式，哈纳克不等式引出了一个强大而简单的定理，称为哈纳克原理。
设 是区域Ω中一个非负调和函数，则对Ω的任一紧子集Ω′，存在一个只依赖于n，Ω′和Ω的常数C，使得
特别地，如果 在以原点为中心，R为半径的球 中是一个非负调和函数，那么哈纳克不等式有如下形式：
泊松公式使我们可以将一个调和函数用它在一个圆周上的值来表示，为了适应需要，我们把它写成形式
其中而假定在中调和(或对调和，对连续)。联系初等不等式
的右端，公式(1)给出估计
如果已知，那么也可用(2)的第一个不等式，得到一个双重估计
但的算术平均等于，于是最后得到下面的上界与下界:
这是哈纳克不等式，我们要着重指出，它仅对正的调和函数为真。（3）的主要应用是用于正项级数，或等价地，用于调和函数的增序列。它引出一个强大而简单的定理，称为哈纳克原理。
哈纳克原理：考察函数 的一个序列，其中每个函数定义在某一城 内，且在该域内调和。设 为这样的一个域，它的每一点具有一个邻域包含于除有穷个以外的所有 中，并设在这一邻域中，当n足够大时，有 。那么这里只有两种可能：或者是 在 的每个紧致子集上一致地趋于 ，或者是 在紧致集上一致收敛于 内的一个调和极限函数 。
最简单的情形是函数 在 内均为调和，并组成一个非降序列。不过，有很多应用说明这种情形不够普遍。
为了证明这一定理，先设至少对于一点 。根据假设，可以找到一个r和m，使得对于 及 ，函数 都是调和的，并组成一个非降序列，如果将不等式（3）的左边应用于非负函数 ，则知 将在圆盘 中一致地趋于 ，另一方面，如果 ，应用不等式的右边同样可证明 在 上有界。因此，在其上 分别为有穷及无穷的两个集都是开集，而由于 是连通的，故必有一个集是空集。只要 的极限在单一点上是无穷大，则它必恒等于无穷大。至于一致性，可用海涅一博雷尔引理来证明。
在相反的情形，极限函数 是到处均为有穷的，我们只要证明其收敛是一致的即可。应用上面的同样记法，对于 及 ，有 ，因此，在 点收敛就意味着在 的一个邻域中一致收敛，再应用海涅-博雷尔引理可知在每个紧致集上收敛是一致的。至于极限函数的调和性，则可从 能用泊松公式来表示这一点而得证。
设E是包含于域中的一个紧致集，证明，存在一个只依赖于E及的常数M，使得中的每个正调和函数，对于任意两点，满足不等式。