（2）定义在Rf(x1,...,xn) = (x1+ ... +xn)，其中n≥ 2。

在三元的调和函数的例子前，先定义以简化形式。下面表格中的函数在经过数乘（乘以一个常数）、旋转和相加后仍然会是调和函数。调和函数是由其奇点决定的。调和函数的奇点可以在电磁学中解释为电荷所在的点，因此相应的调和函数可以看作是某种电荷分布下的电势场。

在给定的开集U上所有的调和函数的集合是其上的拉普拉斯算子Δ的核，因此是一个R的向量空间：调和函数的和与差以及数乘，结果依然是调和函数。

如果f是U上的一个调和函数，那么f的所有偏导数也仍然是U上的调和函数，在调和函数类上，拉普拉斯算子和偏导数算子是交换的。

在某些意义上，调和函数是全纯函数在实值函数上的对应物。所有的调和函数都是解析的，也就是说它们可以局部地展开成幂级数。这是关于椭圆算子的一个性质，而拉普拉斯算子是一个常见的例子。

收敛的调和函数列的一致极限仍会是调和的。这是因为所有满足介值性质的连续函数都是调和函数。

一个全纯函数的实数和虚数部分都是R上的调和函数。反过来说，对于一个调和函数u，总可以找到一个调和函数v，使得函数u+iv是全纯函数。这个函数v被称为调和函数u的调和共轭。这里的函数v在差一个常数的意义上是唯一定义的。这个结果在希尔伯特变换中有应用，也是数学分析中一个与奇异积分算子有关的基本例子。在几何意义上，u和v可以被看作具有正交的关系。如果画出两者的等值线，那么两条线在交点处正交（两条切线成直角）。在这种视角下，函数u+iv可以被看作一种“复位势场”，其中u是一个位势函数，而v是流函数。

调和函数总是无穷次可导（光滑）的。事实上，调和函数是实解析函数的一种。

调和函数满足以下的极大值定理：如果K是U的一个紧子集，那么f在K上诱导的函数只能在边界上达到其最大值和最小值。如果U是连通的，那么这个定理意味着f不能达到最大值和最小值，除非它是常数函数。对于次调和函数也有同样的定理。

设B(x,r)是一个以x为中心，以r为半径的完全在U中的球，那么调和函数f(x)球的边界上取值的平均值和f在球的内部的取值的平均值相同。也就是说：

其中表示n维的单位球面。

如果f在整个R都有定义的调和函数，并且在其上有最大值或最小值，那么函数f是常数函数（参见复平面上函数的刘维尔定理）。

调和函数研究的一个推广是黎曼流形上的调和形的研究，后者与上同调的研究有关。此外，可以定义调和的向量值函数，或者两个黎曼流形间的调和映射。这些调和映射出现在最小表面理论中。比如说，一个从R上区间 射到一个黎曼流形的映射是调和的当且仅当它是一条短程线。

若u(x,y)满足“重调和”方程

则称u是重调和函数,它是数学物理方程理论中的一个重要函数类。调和函数和重调和函数，在力学和物理学中都有重要的应用。类似地也有高维的重调和函数。由于拉普拉斯方程是椭圆型方程的一个特殊情况，故后者的解的一般性质也是调和函数的性质。