设函数在的某个邻域内具有任意阶导数，则函数在该邻域内能展开成泰勒级数的充要条件使得泰勒公式中的余项满足

定理二

如果在区间能展开成泰勒级数则右端的幂级数是唯一的。

泰勒级数的重要性体现在以下三个方面：

对于一些无穷可微函数f(x) 虽然它们的展开式收敛，但是并不等于f(x)。例如，分段函数，当 x ≠ 0 且 f(0) = 0 ，则当x = 0所有的导数都为零，所以这个f(x)的泰勒级数为零，且其收敛半径为无穷大，虽然这个函数 f 仅在 x = 0 处为零。而这个问题在复变函数内并不成立，因为当 z 沿虚轴趋于零时并不趋于零。

一些函数无法被展开为泰勒级数是因为那里存在一些奇点。但是如果变量x是负指数幂的话，我们仍然可以将其展开为一个级数。例如，就可以被展开为一个洛朗级数。

基本原理：多项式的k重不可约因式是其微商的k-1重不可约因式；

基本思想：通过系数为微商的多项式来研究任意函数的性质（本科主

要是收敛性)

希腊哲学家芝诺 （Zeno of Elea）在考虑了利用无穷级数求和来得到有限结果的问题，得出不可能的结论 -芝诺悖论。后来，亚里士多德相对于芝诺悖论提出了一个哲学的决议，但显然此部分数学内容没有得到解决直到被德谟克利特接手以及后来的阿基米德。 正是用了阿基米德的穷举法才使得一个无穷级数被逐步的细分，实现了有限的结果。

进入14世纪，Mādhava of Sañgamāgrama最早使用了泰勒级数以及相关的方法。虽然没有保留他的工作记录，但后来印度数学家的著作表明他发现了一些特殊的泰勒级数，这些级数包括正弦，余弦，正切，和反正切三角函数等等。之后，喀拉拉邦的天文与数学学校在他的基础上进行了一系列的延伸与合理逼近，一直持续到16世纪。

到了17世纪，詹姆斯·格雷戈 （James Gregory）同样继续着这方面的研究并且发表了若干麦克劳林级数。1715年，布鲁克·泰勒 （Brook Taylor） 提出了一个常用的方法来构建这一系列级数并适用于所有函数。这就是后来被人们所熟知的泰勒级数。 麦克劳林级数是以爱丁堡大学教授麦克劳林来命名的。他在18世纪发表了泰勒级数的特例。

下面给出几个常见函数在x=0处的泰勒级数，即麦克劳林级数。

参考主词条：指数函数

以𝑒为底数的指数函数的麦克劳林序列是：

参考主词条：自然对数

以𝑒为底数的自然对数的麦克劳林序列是：

参考主词条：几何级数

常用的三角函数可以被展开为以下的麦克劳林序列：

正弦函数：

余弦函数：

正切函数：

正割函数：

反正弦函数：

反余弦函数：

反正切函数：

在tan⁡(𝑥)展开式中的Bk是伯努利数。在sec⁡(𝑥)展开式中的Ek是欧拉数。